PORTAFOLIO III CORTE ESTADISTICA TRABAJO

Problemas que desarrollan competencias

Nivel interpretativo

1.     En los siguientes enunciados uno es verdadero

A.    La media en una muestra de datos agrupados la divide en dos partes iguales.

B.    Una distribución de datos permite calcular todas las medidas de tendencia central.

C.    La moda es un dato que permite analizar un resultado esperado.

D.    Una medida de dispersión está libre de cálculo de la media.

2.     Una cantidad que se toma en cuenta para evaluar proyectos azarosos es la desviación estándar. Esta mide la dispersión de los resultados del proyecto azaroso. Es decir, si hay dos proyectos: A y B. Y si la desviación estándar del rendimiento del proyecto A es mayor que la del B. El proyecto A es más arriesgado, EL B es más estable. Si ambos tienen valor esperado parecido, el A tiene posibilidades de rendir mucho más que el B, pero también el A tiene posibilidad de generar mayores pérdidas que el B.

La afirmación anterior es verdadera porque:

A.    La desviación estándar mide la variabilidad de dos grupos A y B cualquiera.

B.    La desviación estándar permite comparar a dos grupos y decidir la estabilidad del uno con respecto al otro.

C.    La desviación estándar mide el margen de error de un grupo con respecto al otro.

D.    La desviación estándar mide la distancia entre los datos y la media aritmética.

E.    La desviación estándar mide el margen de error cometido al usar la media en una distribución.

Nivel argumentativo

1.     Una compañía recoge información sobre los precios de libros de texto de matemáticas. En el 2000, el precio promedio para todos los textos de matemáticas era de $45.400, con una desviación típica de $100.los precios de 32 libros de matemáticas seleccionados  a la azar durante este año son:

50 40 41 48 48 42 49 50

48 45 56 41 57 42 45 46

45 66 45 45 55 66 42 50

46 46 55 48 45 58 47 35

El precio promedio de los libros para es te año es mayor que el precio de los libros en el año 2000, por que el coeficiente de variación es también mayor.

CALCULOS

xi	Ni	Media
35	1	X=35.1 + 40.1+ 41.2+42.3+45.6+46.3+47.1+48.4+49.1+50.3+55.2+56+57+58+66.2
40	1	32
41	2	X=35+40+82+126+270+138+47+192+49+150+110+56+57+58+132
42	3	32
45	6	X=1542/32        X=48,1875
46	3
47	1
48	4
49	1
50	3
55	2
56	1
57	1
58	1
66	2
N	32

Media	48,1875
Xi	ni	Xi - Media	(Xi-X)2	ni. (Xi-X)2
35	1	-13,1875	173,910156	173,910156
40	1	-8,1875	67,0351563	67,0351563
41	2	-7,1875	51,6601563	103,320313
42	3	-6,1875	38,2851563	114,855469
45	6	-3,1875	10,1601563	60,9609375
46	3	-2,1875	4,78515625	14,3554688
47	1	-1,1875	1,41015625	1,41015625
48	4	-0,1875	0,03515625	0,140625
49	1	0,8125	0,66015625	0,66015625
50	3	1,8125	3,28515625	9,85546875
55	2	6,8125	46,4101563	92,8203125
56	1	7,8125	61,0351563	61,0351563
57	1	8,8125	77,6601563	77,6601563
58	1	9,8125	96,2851563	96,2851563
66	2	17,8125	317,285156	634,570313
N	32			1508,875
S =√(1508,875)/32
S=6,86

CV= 100/45400= 0,002 x 100 =0,2

CV= 686/48187,5=0,014 x 100=1,4

ANALISIS

Año	Media	S	CV
2000	45400	100	0,2
Este año	48187,5	686	1,4

El precio promedio de los libros para es te año es mayor que el precio de los libros en el año 2000 (verdadero).

El coeficiente de variación es también mayor(verdadero).

2.     Multiplicando por cuatro cada uno de los valores de la variable X: 3, 2, 0, 5 se obtiene la serie                Y: 12, 8, 0, 20, para comprobar que las series tienen el mismo coeficiente de variación se debe:

I.                Calcular las medias de ambas series

II.              Calcular la varianza de ambas series

ANALISIS NUMERICO

Serie 1: 3, 2, 0, 5

Media X= 3+2+0+5  / 4 

 Media X = 10/ 4 = 2,5

S=√ (3-2,5)²+ (2-2,5)²+(0-2,5)²+(5-2,5)² / 4  = √ (0,5)²+(-0,5)²+(-2,5)²+(2,5)²  / 4

S=√ 0,25+0,25+6,25+6,25 / 4  = √ 13/4 = √3,25 =1,8

CV=1,8/2,5   =  0,72

Serie 2: 12, 8, 0, 20

Media  X=10

S=√ (12-10)²+ (8-10)²+(0-10)²+(20-10)²/ 4 = √ (2)²+(-2)²+(-10)²+(10)² / 4

S=√ 4+4+100+100/4 = √ 208/4 = √ 52= 7,21

CV=7,21/10   =  0,72

Para comprobar que las series tienen el mismo coeficiente de variación se debe Calcular las medias de ambas series y Calcular la varianza de ambas series.

3.              En la facultad de Ciencias Económicas y contables de la Universidad Cooperativa de Colombia (Villavicencio) se ha encontrado que los promedios en los 4 primeros semestres de las notas de matemáticas corresponden a: 3,2, 3,4, 3,0, 3,8.Si la cantidad de alumnos matriculados fue de 30, 35, 40 y 22 respectivamente, y sabiendo que existe un 4 de varianza, entonces el coeficiente de variación del promedio total de las notas de los cuatro semestres corresponde a:

A.              60,6 %

B.              70,6 %

C.             75,6 %

D.             65,6%

E.              55,6%

CALCULOS

Media= (3,2 x 30)+(3,4x35)+(40x3,0)+(22x3,8) / 127

Media= 96+119+120+83,6 / 127

Media= 96+119+120+83,6 / 127 = 418,6 / 127 = 3,296

Varianza= 4     Desviación= √4=2                                            La desviación es la raíz² de la varianza

CV= 100. S/X = 100. 2 / 3,296 = 200/ 3,296 =  60,67%

4.              El coeficiente de variación permite comparar la variabilidad de dos series de datos y se expresa mediante la fórmula CV =S. 100/ X. A los trabajadores de una empresa  el próximo año el salario mensual  les será aumentado en un 19,6% más  $8.000. La empresa tiene 600 trabajadores que actualmente devengan un salario mínimo de $210.000, con un coeficiente de variación de 0,36.

 Entonces la desviación estándar de los salarios para el próximo año toma un valor de:

A.              $90.417

B.              $75.600

C.             $41.900

D.             $60.750

E.              $17.600

CALCULOS

Salario actual= $210.000

El próximo año el salario mensual  les será aumentado en un 19,6% (100%+19,6% = 119,6% /100= 1,196) más  $8.000, entonces  el  salario del próximo año: (210.000 x 1,196) + 8000 = 251160+8000= $259.160

Si CV = S / X    entonces,   S= CV. X  = 0,36 . $259.160  = $93.297,6

Sin sumarle los $8000, el salario del próximo año: (210.000 x 1,196)  = 251160= $251.160

CV = S / X    entonces,   S= CV. X  = 0,36 . $251.160  = $90.417

5.              Los salarios mensuales que paga una fábrica a los operarios que trabajan en dos turnos tienen las siguientes estadísticas.

Medidas	Turno I	Turno II
Número de trabajadores	38	62
Salario medio mensual	$178.000	$203.500

Si la varianza es de $267.319,720, ¿Cuál es el valor del coeficiente de variación?

A.              7%

B.              8,93%

C.             7,93%

D.             9,38%

E.              3,98%

Media= 178.000 x 38 + 203.500 x 62 / 100 = 6.764.000 + 12.617.000 / 100=19’381.000/100= $193.810

Varianza= $267.319,720     Desviación=√ $267.319,720= $517,03

CV= S .100/ X = $517,03. 100/ 193.810 = 51703/193.810 = 0,266

6.              (Resolver) sumar 4 a la serie 2, 6, 5, 9, 1 y comprobar que tienen la misma varianza y distintas medias.

Serie 1: 2, 6, 5, 9, 1

Media X= 2+ 6+ 5+ 9+ 1 / 5 = 23 / 5 = 4,6

S=√ (2-4,6)²+ (6-4,6)²+ (5-4,6)²+ (9-4,6)²+(1-4,6)²/ 5 = √ (-2,6)²+(1,4)²+(0,4)²+(4,4)²+(-3,6)²/5

S=√6,76+ 1,96 + 0,16 + 19,36 + 12,96/5  = √41,2/5  =√8,24 = 2,87

CV=2,87. 100/4,6  =  287 / 4,6 = 62,39%

Serie 2: 6, 10, 9, 13, 5

Media  X=6 + 10+ 9+ 13+ 5 / 5  = 43 /5 = 8,6   o   X₂= X₁+4= 4,6 +4=8,6

S=√ (6-8,6)²+ (10-8,6)²+ (9-8,6)²+ (13-8,6)²+ (5-8,6)² / 5 = √ (-2,6)²+ (1,4)²+(0,4)²+(4,4)²+(-3,6)² /5

S=√6,76+ 1,96 + 0,16 + 19,36 + 12,96 /5  = √41,2 /5  =√8,24 = 2,87

CV= 2,87. 100/4,6  =  287 / 4,6 = 62,39%

Tienen la misma Varianza 8,24 y distinta media, la serie 1   X: 4,6 y la serie 2 X: 8,6

7.              (Resolver) Un conjunto  de 20 valores tiene una media igual a 50; otro conjunto de 20 valores tiene una media igual a 30; la desviación estándar de los 40 valores considerados en grupo es igual a 10. Calcular el coeficiente de variación de los dos conjuntos.

La media de los 40 valores es  X = (20 .50 + 20 .30)  / 40 = 1000+600 / 40 = 1600/ 40 = 40

CV= S .100 / X = 10 .100 / 40 = 0,25 . 100 = 25%

CV= S .100 / X = 10 .100 / 50 = 0,2 . 100 = 20%

CV= S .100 / X = 10 .100 / 30 = 0,33 . 100 = 33,3%

8.              (Resolver) Se consultó en 30 almacenes de Villavicencio el precio de monitores para computador y se obtuvieron los siguientes resultados en miles de pesos.

100 101 120 115 130 150 112 145 138 121

126 115 140 137 143 118 147 149 150 115

100 127 135 149 146 137 122 118 135 129

Elaborar una distribución de frecuencias para datos agrupados, indicando los valores de los límites reales. Y calcular: cuartil 2, coeficiente de variación, interpretación con respecto al CV.

SOLUCION

Para establecer los intervalos:

Rango = X_max- x_min = 150 – 100 =  50

M= 1 + 3,3 log N = 1 + 3,3 log 30 = 1+ 3,3 x 1,477= 1+ 4,87 = 5,87 POR EXCESO 6

C = 50/6 =8,3333=8,3

La tabla de frecuencias es:

Para el cálculo del Cuartil 2

Teoría

Cálculo de los cuartiles para datos agrupados:En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra, en la tabla de las frecuencias acumuladas.

L_i es el límite inferior de la clase donde se encuentra el cuartil.

N es la suma de las frecuencias absolutas.

F_i-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil.

a_i es la amplitud de la clase.

Procedimiento:

2. 30 /4  = 60 /4 =15 como el 15 está en el intervalo 125- 133,2

Q₂ = 125 + [( 15 -  12  / 4 ) .5 ]

Q₂ =  125 +( ¾  . 5)

Q₂ =  125 + 3,75 = 128,75

Tabla para el cálculo de la Media, Varianza, desviación y coeficiente de variación CV:

intervalos	media Xi	fi	Xi2	xi. Fi	xi2 . fi
100-108,3	104,15	3	10847,2225	312,45	32541,6675
108,4-116,6	112,5	4	12656,25	450	50625
116,7- 124,9	120,8	5	14592,64	604	72963,2
125,0-133,2	129,1	4	16666,81	516,4	66667,24
133,3-141,5	137,4	6	18878,76	824,4	113272,56
141,6-150	145,8	8	21257,64	1166,4	170061,12
TOTALES		30		3873,65	506130,788

Media X = 3873,65 / 30 =  129,12

Varianza σ² = (506130,788/ 30) – (129,12)²  = 16.871,026 – 16.671,97 = 199,056 

Desviación σ = √199,056 = 14,1

CV= 14,1 * 100  / 129,12 = 0,109 * 100 = 10,9

Hay una  relación de 10,9% de los datos referente a la media de 129, 12 y su desviación 14,1

Nivel propositivo

1.              El Icfes decidió establecer un nuevo currículo para las materias de ciencias y matemáticas en las escuelas intermedias públicas del país. Para probarlo selecciono 9 escuelas según la disponibilidad de los maestro de esas escuelas y recomendación de las secretarias de educación. Luego de implantados los cambios, decidieron demostrar que esas escuelas son representativas del total de escuelas intermedias públicas del país. Utilizaron como criterio de representatividad el ingreso promedio (en miles de pesos) de los padres de estudiantes que asisten a esas escuelas. Los resultados se resumen en la siguiente gráfica.

Los resultados indican que en las nueve escuelas cerca del 72,5% de los estudiantes estaban bajo el nivel de pobreza, mientras que en la población de escuelas ese porcentaje es del 79,75%. La desviación estándar poblacional es de 7,8 puntos porcentuales. Su conclusión es que como el 72,5% se encuentra a menos de una desviación estándar de la media poblacional de 79,75%, entonces no hay diferencia significativa.

La conclusión del centro es errónea, porque las escuelas de la mesta tienen un nivel de pobreza promedio menor que los de la población.

La diferencia si es significativa porque la desviación estándar de la media de 79,75 es 7,8 y la media de las 9 escuelas es de 72,5 lo que quiere decir que está en el extremo inferior de la población.

2.     En una distribución de datos correspondientes a salarios de 50 educadores de la Universidad Cooperativa de Colombia se encontró que el salario promedio es de $600.000, con una varianza de $625 se puede concluir que:

a.     La varianza en el ejemplo representa una buena medida para establecer la veracidad del dato promedio.

b.     $600.000 según la desviación estándar no es una medida suficientemente representativa.

c.     La media de $600.000 es suficientemente representativa ya que la desviación estándar es  pequeña.

d.     La media no está acorde con la realidad. Lo dice el enorme tamaño de la varianza.

Porque Si la varianza es de $625, la desviación es de √625= $ 25, para un valor de $600.000 es pequeña.

3.     Mediante una curva normal y utilizando las desigualdades de TChebycheff se diseñó un modelo para cualificar el desempeño académico de los estudiantes de la Universidad Cooperativa de Colombia en el programa de sistemas.

D=deficiente	2%
R=regular	10%
B= bueno	55%
S=sobresaliente	25%
E=excelente	5%
O= optimo	3%

Si en total existen 180 estudiantes con un promedio total de 3,4 y un coeficiente de variación del 2,5%, entonces ¿Cuántos estudiantes sobresalientes tiene el programa?

A.100 B.96   C.45   D.99   E.9

Porque sobresalientes es el 25 % de 180= 45

4. La varianza de todo el grupo en el ejemplo anterior corresponde a:

A.0,085        B.0,025                  C.7,2  D.0,085                  E.0,0072

CV = S .100/ X  →  S= CV. X /100= 3,4 .2,5% /100= 8,5 /100 = 0,085

5. La resistencia de 100 baldosas de la fábrica “De las casas” se referencia en la siguiente tabla.

Kg/cm	F
100-200	4
200-300	10
300-400	21
400-500	33
500-600	18
600-700	9
700-800	5

Si el promedio de salario en la fábrica de “Las casas “es de $541.000 y la desviación estándar es $1.791 se concluye que:

A.    Es mucho más dispersa la información correspondiente a la resistencia de las baldosas.

B.    Es mucho más dispersa la información correspondiente al salario de los empleados.

C.    Ambas informaciones presentan la misma dispersión y por tanto no se puede tomar una decisión.

D.    La varianza en los salarios es diferente en la resistencia de las baldosas, eso hace que el análisis entre las dos informaciones sea indiferente.

ANALISIS DE LAS BALDOSAS

Media = 150.4 + 250.10 + 350.21 + 450.33 + 550.18 + 650.9 + 750.5  / 100

Media = 600 + 2500 + 7350 + 14850 + 9900 + 5850 + 3750  / 100

Media= 44800 /100 = 448

Resistencia	Marca de clase	f	xi.f	xi 2	xi2 . fi
100-200	150	4	600	22500	90000
200-300	250	10	2500	62500	625000
300-400	350	21	7350	122500	2572500
400-500	450	33	14850	202500	6682500
500-600	550	18	9900	302500	5445000
600-700	650	9	5850	422500	3802500
700-800	750	5	3750	562500	2812500
		100	44800		22030000

Varianza

σ² = (22030000 / 100) – (448)²

σ² = 220300 – 200704 =  19596

ANALISIS COMPARATIVO

	Baldosas	Salarios
Media	448	541.000
Varianza	19.596	3.207.681
Desviación	139,98	1.791
Coeficiente de variación	0,31=31%	0,003=0,3%